Dynamical localization for random scattering zippers
Localisation dynamique pour des modèles de scattering zipper aléatoires
Abstract
This article establishes a proof of dynamical localization for a random scattering zipper model. The scattering zipper operator is the product of two unitary by blocks operators, multiplicatively perturbed on the left and right by random unitary phases. One of the operator is shifted so that this configuration produces a random 5-diagonal unitary operator per blocks. To prove the dynamical localization for this operator, we use the method of fractional moments. We first prove the continuity and strict positivity of the Lyapunov exponents in an annulus around the unit circle, which leads to the exponential decay of a power of the norm of the products of transfer matrices. We then establish an explicit formula of the coefficients of the finite resolvent in terms of the coefficients of the transfer matrices using Schur's complement. From this we deduce, through two reduction results, the exponential decay of the resolvent, from which we get the dynamical localization.
Cet article établit une preuve de localisation dynamique pour un modèle de scattering zipper aléatoire. L'opérateur de scattering zipper est le produit de deux opérateurs unitaires par blocs, perturbés de manière multiplicative à gauche et à droite par des phases unitaires aléatoires. L'un des opérateurs est décalé de manière à ce que cette configuration produise un opérateur unitaire aléatoire à 5 diagonales par blocs. Pour prouver la localisation dynamique de cet opérateur, nous utilisons la méthode des moments fractionnaires. Nous prouvons d'abord la continuité et la stricte positivité des exposants de Lyapunov dans un anneau autour du cercle unitaire, ce qui conduit à la décroissance exponentielle d'une puissance de la norme des produits des matrices de transfert. Nous établissons ensuite une formule explicite des coefficients de la résolvante de l'opérateur restreint à un intervalle fini en termes de coefficients des matrices de transfert en utilisant le complément de Schur. Nous en déduisons, par deux résultats de réduction, la décroissance exponentielle de la résolvante, ce qui nous permet d'obtenir la localisation dynamique.
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